Optimal Control of a Parabolic Equation with Time-Dependent State Constraints

In this paper we study the optimal control problem of the heat equation by a distributed control over a subset of the domain, in the presence of a state constraint. The latter is integral over the space and has to be satisfied at each time. Using for the first time the technique of alternative optimality systems in the context of optimal control of partial differential equations, we show that both the control and multiplier are continuous in time. Under some natural geometric hypotheses, we can prove that extended polyhedricity holds, allowing to obtain no-gap second-order optimality conditions, that characterize quadratic growth. An expansion of the value function and of approximate solutions can be computed for a directional perturbation of the r.h.s. of the state equation. Key-words: Optimal control, parabolic equations, state constraints, alternative optimality system, quadratic growth, second-order optimality conditions, sensitivity, expansion of value function and solutions. ∗ INRIA-Saclay and Centre de Mathématiques Appliquées, Ecole Polytechnique, route de Saclay, 91128 Palaiseau, France. Email: [email protected]. † Laboratoire de Mathématiques Appliquées, Université de Versailles Saint-Quentin, 45 avenue des Etats Unis 78035 Versailles, France. Email: [email protected]. Commande optimale d’une équation parabolique avec contraintes sur l’état dépendant du temps Résumé : Cet article étudie le problème de la commande optimale de l’équation de la chaleur par un contrôle distribué sur une partie du domaine, en présence d’une contrainte sur l’état. Cette dernière est intégrale en espace et doit être respectée à chaque instant. Utilisant pour la première fois la technique des multiplicateurs alternatifs dans le contexte de la commande optimale des équations aux dérivées partielles, nous montrons la continuité en temps de la commande et du multiplicateur. Sous des hypothèses naturelles, la condition de polyédricité étendue est satisfaite, ce qui permet d’obtenir des conditions d’optimalité du second ordre sans écart, qui caractérisent la croissance quadratique. On en déduit également un développement de la valeur et des solutions approchées pour une perturbation directionnelle du second membre de l’équation d’état. Mots-clés : Commande optimale, équations paraboliques, contraintes sur l’état, système d’optimalité alternatif, croissance quadratique, conditions d’optimalité du second ordre, sensibilité, développement de la valeur et de la solution. Optimal control of a state constrained parabolic equation 3